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フーリエ級数(Fourier Series)とは…連続周期信号を直流成分、基本周波数成分ならびにその高調波成分の重ね合わせによって表現したもの。


フーリエ変換(Fourier Transform)とは…フーリエ級数が周期信号を取り扱うのに対し、フーリエ変換は、非周期信号を対象とするフーリエ解析。非周期信号を、周期無限大の周期信号ととらえ、フーリエ級数展開と同様の計算を行うこと。


補足1:フーリエ級数展開によるスペクトル(周波数に対する分布)は線スペクトル(離散)で非周期的、フーリエ変換によるスペクトルは連続で非周期的。

補足2:「三角関数で表現できない関数は存在しない。」byフーリエ(1768~1830)

一方、スペクトルにも、連続スペクトルと離散スペクトル、周期スペクトルと非周期スペクトルがあります。
これらは独立ではなく、ある相互関係が存在します。
詳しくは対応する項目で説明しますが、以下のような関係があります。
連続信号  ←→  非周期スペクトル
離散信号  ←→  周期スペクトル
周期信号  ←→  離散スペクトル
非周期信号 ←→  連続スペクトル
少し乱暴な言い方になるかもしれませんが、離散信号は有限です。
有限なものをある規則により変換した結果は有限であり、それらが連続関数の形をとる場合は、
何らかの形で繰り返し(周期関数)の形をとります。

上の法則を組み合わせると、以下のようになります。

連続周期信号は離散非周期スペクトルをもち、これらの関係を記述するのが「フーリエ級数展開」です。

連続非周期信号は連続非周期スペクトルになり、これらの関係は一般の「フーリエ変換」で記述されます。

離散周期信号は離散周期スペクトルであり、「離散フーリエ変換」に対応します。

それでは、残る組み合せ、離散非周期信号と連続周期スペクトルを関係付けるのは、何でしょうか?
答えは、「サンプリング(標本化)」という操作です。
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